integral

Die Schülerinnen und Schüler erwerben in der Oberstufe die grundlegenden Rechenfertigkeiten der Ableitung und Integration. Sie werden für die Vermessung geometrischer Körper benötigt, eine der wichtigsten Aufgaben in der Mathematik. So benötigt man beispielsweise ein Integral, um die Fläche einer anspruchsvollen zweidimensionalen Figur zu bestimmen.

Dank hilfreicher Prinzipien ist es einfach, komplexe verschachtelte Funktionen zu konstruieren, aber die Integration macht dies viel schwieriger. Das liegt daran, dass sie eine inverse Ableitung verwendet: Sie müssen die Terme in der Ableitung berücksichtigen, die die zu integrierende Funktion verursachen, um die Wurzelfunktion zu ermitteln. Die Aufgabe ist leicht zu erlernen, solange man mit einfachen Polynomen wie f(x) = x oder f(x) = 3×2 + 4×5 arbeitet. Schwieriger wird es jedoch, wenn man mit anspruchsvolleren Szenarien wie f(x) = sin(x)/x – sin(x/3)/x arbeitet.

Die partielle Integration kann z. B. verwendet werden, um das Produkt zahlreicher Terme zu integrieren; dies kann jedoch bei wiederholter Anwendung sehr zeitaufwändig sein. Es gibt auch andere „Tricks“ wie die Ersetzungsregel, die gelegentlich zum Erfolg führen können. Wenn alles andere versagt, kann man algebraische Computerwerkzeuge wie Maple oder Mathematica oder praktische Leitfäden mit Integrationstabellen verwenden. Diese können Integrale nicht nur näherungsweise numerisch berechnen (d. h. ein numerisches Ergebnis liefern), sondern auch die genauen Grundfunktionen anbieten. Wenn der zu integrierende Ausdruck jedoch zu kompliziert wird, versagt auch die Software.

Verschmelzung durch Differenzierung

Doch 2014 entdeckten die Mathematiker Alejandro H. Morales von der University of Massachusetts Amherst und Achim Kempf von der University of Waterloo in Kanada einen neuen Ansatz zur präzisen Berechnung von Integralen, der nur auf Ableitungen beruht.

Das schafft bisher undenkbare Möglichkeiten, denn die Ableitung ist das viel einfachere Verfahren. Die Methode wurde bereits in die Version 2019 der algebraischen Computersoftware Maple übernommen, wodurch einige Berechnungen deutlich schneller als bisher durchgeführt werden können. Außerdem kann diese Methode zur Bestimmung der Wurzelfunktionen komplexer Ausdrücke verwendet werden, deren Verarbeitung mit herkömmlicher Software zu lange dauern würde, so dass kein Ergebnis übrig bliebe.

Es ist jedoch bemerkenswert, dass die neue Strategie nicht schon viel früher entwickelt wurde. Die Grundsätze der modernen Analyse wurden nämlich bereits im 17. Jahrhundert von Leibniz und Newton aufgestellt. Jahrhundert von Leibniz und Newton entwickelt. Seitdem haben sich Differenzierung und Integration als praktische Werkzeuge mit mehreren nicht-mathematischen Anwendungen erwiesen. Integrale und Ableitungen sind zumindest immer dann erforderlich, wenn man etwas messen möchte, sei es in der Technik, in der Wirtschaft oder im Design. Es mag zu schön erschienen sein, um wahr zu sein, dass das schwierige Integral vollständig durch Ableitungen ersetzt werden kann. Aber die Herleitung ist ziemlich einfach.

Überraschendes Ergebnis

Kempf und seine Kollegen hatten es zufällig entdeckt, als sie an einer weitaus schwierigeren Aufgabe arbeiteten: dem Streckenintegral der Quantenfeldtheorie. Obwohl es die Grundlage vieler Berechnungen ist, ist es mathematisch recht zweifelhaft: Es ist häufig unsicher, ob das in der Physik beschriebene Wegintegral überhaupt ein endliches Ergebnis liefern kann. Um die Verfahren zu vereinfachen, entwickelten Kempf und Co. eine Lösung, die ausschließlich auf Ableitungen beruht.

Als sie ihr Ergebnis veröffentlichen wollten, waren selbst die Gutachter überrascht. Sie fanden keinen Fehler, hatten aber einen Einwand: Wenn der Ansatz richtig sei, müsse es auch möglich sein, ihn auf gewöhnliche Integrale anzuwenden. In der Tat gab es nichts dagegen einzuwenden: Die Physiker und Mathematiker übertrugen ihre Methode auf den viel einfacheren Fall eines gewöhnlichen Integrals und kamen so zu der oben genannten Formel. Wenn man einen komplizierten Ausdruck integrieren will, kann man sich also stattdessen nur auf seine Ableitungen konzentrieren.

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