Funktionsbegriff

Im Alltag können ständig Sachverhalte beobachtet werden, in denen zwei Größen voneinander abhängen. Beispielsweise kann man jedem Zeitpunkt eine Außentemperatur oder einzelnen Schüler_innen in einer Klasse eine Note zuordnen. Mit der Hilfe von Funktionen, kann man diese Zuordnungen mathematisch beschreiben.

Auf dieser Seite kannst du nachlernen, was eine Funktion ist, wie man sie darstellen kann und wie man sie erkennt.

Ein kleiner Input

Definition

Eine Funktion f ist eine Zuordnung f:x→y, die jedem x genau ein y zuordnet. Die Menge alle x heißt Definitionsmenge D und die Menge alle y heißt Wertemenge W.

Erklärung

Ein Beispiel dafür ist die Zuordnung von Schüler_innen zu Noten nach einer Klassenarbeit. Dabei gehören alle Schüler_innen der Klasse zur Definitionsmenge, da lediglich diese die Arbeit geschrieben haben. Die möglichen Noten von 1 bis 6 bilden die Wertemenge.

Zuordnung

Diese Zuordnung ist eine Funktion, da jedem Schüler nur eine Note zugeordnet werden kann, denn für eine Klassenarbeit bekommt man keine zwei oder auch drei Noten. Umgekehrt können aber durchaus mehrere Schüler die selbe Note haben. So haben in unserem Beispiel sowohl Tim als auch Lisa eine 1, dagegen kann Jonas beispielsweise aber keine 1 und gleichzeitig eine 5 haben. Ihm kann lediglich eine Note, in diesem Fall die 5, zugeordnet werden.

Die Elemente aus der Definitionsmenge werden üblicherweise mit x und die Elemente aus der Wertemenge mit y bezeichnet.

Wie lässt sich eine Funktion darstellen?

Zuordnungen lassen sich auf vier verschiedene Arten darstellen. Mittels eines Sachtextes, einer Wertetabelle, eines Graphen und einer Funktionsgleichung. Um das zu veranschaulichen, betrachten wir im Folgenden ein Beispiel einer Funktion in allen vier Darstellungsformen.

Sachtext

„In einem Süßwahrengeschäft kosten 100g Fruchgummis 0,90€.“

Der Preis, der für die Fruchgummis bezahlt werden muss, ist abhängig von dem Gewicht der Fruchtgummis. Werden lediglich 100g Fruchgummis gekauft, so bezahlt man 0,90€. Für 200g bezahlt man 1,80€. Jedem Gewicht wird damit genau ein Preis zugeordnet.

Die Definitionsmenge umfasst alle positiven reellen Zahlen R+, da keine negative Menge an Fruchgummis gekauft werden kann. Der Wertebereich umfasst alle nichtnegativen reellen Zahlen R+, da kein negativer Preis bezahlt werden kann.

Wertetabelle

Die Beziehung zwischen dem Gewicht an Fruchgummis x und dem Preis y können wir auch tabellarisch darstellen. Dabei tragen wir in die Tabelle ein, welcher Preis y für x=100,200,300, g Fruchgummis bezahlt werden muss.

Graph

Der Zusammenhang kann ebenfalls grafisch in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Dort ist erkennbar, dass sich Werte aus der Wertetabelle als die Koordinaten der Punkte auf dem Graphen wiederfinden.

Funktionsgleichung

Eine Funktion kann ebenfalls mit einer Funktionsgleichung dargestellt werden. Mit Hilfe der Funktionsgleichung lässt sich jeder Funktionswert direkt berechnen.

Für unser Beispiel lautet die Funktionsgleichung

f(x)=0,009x oder y=0,009x mit xR+

Die Schreibweise f(x) gibt den Funktionswert an der Stelle x an, den wir auch y nennen können.

Mit der Funktionsgleichung kann nun der Funktionswert an beliebigen Stellen berechnet werden. Wir erhalten beispielsweise an der Stelle x=1000 , neben Bauchschmerzen von den vielen Fruchgummis, den Funktionswert:

f(1000)=0,0091000=9

1000g Fruchgummi kostet damit 9€.

Wie erkenne ich eine Funktion?

Um bei einer Zuordnung zu entscheiden, ob es sich um eine Funktion handelt oder nicht, muss überprüft werden, ob jedem x-Wert lediglich ein y-Wert zugeordnet wird. Dabei wird bei den unterschiedlichen Darstellungsformen auch unterschiedlich vorgegangen.

Sachtext

Bei einem Sachtext muss überprüft werden, ob jedem x lediglich ein y zugeordnet werden kann.

Die Zuordnung Person → Körpergröße ist eine Funktion, da jeder Person lediglich eine Körpergröße zugeordnet werden kann, denn eine Person kann keine zwei unterschiedlichen Körpergrößen haben.

Umgekehrt handelt es sich bei der Zuordnung Körpergröße → Person um keine Funktion. Einer Körpergröße können mehrere Personen zugeordnet sein, denn es ist möglich, dass die Körpergröße von 1,60 m sowohl auf Leon, als auch auf Lisa zutrifft.

Wertetabelle

In einer Wertetabelle wird überprüft, ob einer der x-Werte mehrmals auftaucht. Falls ja muss überprüft werden, ob dieser lediglich mehrmals dem selben oder unterschiedlichen y-Werten zugeordnet wird. Falls er unterschiedlichen y-Werten zugeordnet wurde, so handelt es sich um keine Funktion.

In der obigen Wertetabelle tritt der Wert x=8 zweimal auf. Er wird einmal y=6 und einmal y=7 zugeordnet. Damit handelt es sich um keine Funktion.

Graph

Bei einem Graphen wird überprüft, ob es einen x-Wert gibt, dem mehr als ein y-Wert zugeordnet wird. Dabei hilft es sich senkrechte Linien vorzustellen. Schneidet eine dieser Linien zweimal den Graphen, so handelt es sich um keine Funktion.

Die senkrechte Linie schneidet zweimal den Graphen. x=2 wird damit zwei verschiedenen y-Werten zugeordnet, weshalb es sich um keine Funktion handelt.

Funktionsgleichung 

Bei einer Funktionsgleichung wird überprüft, ob diese Gleichung für y eine eindeutige Lösung hat.

So handelt es sich beispielsweise bei y2=x+3 um keine Funktion, da die Gleichung für y zwei Lösungen y=±x+3−−−−−√ hat. Damit werden jedem x zwei verschiedene Funktionswerte zugeordnet.

Dagegen handelt es sich bei y=x2+3 um eine Funktion, da jedem x, welches in die Gleichung eingesetzt wird genau ein Funktionswert zugeordnet wird.

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